Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
6 de noviembre de 2014
Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
Leyendo todo el siguiente artículo aprenderás a resolver en 4 pasos cualquiera de la ecuaciones diferenciales de Bernoulli con las que te enfrentes.
Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas a prendidos.
Según el experto en aprendizaje acelerado Scott Young, en su curso Holistic Learning, la memoria a largo plazo se puede fácilmente activar mediante la utilización de metáforas, al relacionar por ejemplo fórmulas con imágenes exageradas del mundo real que nos sean fácil de recordar por su contenido chusco o exagerado. Un ejemplo sacado del curso: Learning how to learn de la Dra. Barbara Oakley, es el realcionar la popular fórmula de $ F= m * a$, con la siguiente imagen:
Figura 1. Flying Mule A... En ingles la relación usada es: f=flying (volando); m=mule (mula); a=...(se deja a la imaginación)
Donde se relacionan las letras de la fórmula con la imagen para recordarla, por ejemplo el anglisismo: Flying Mule Adept (en ingles) contine las letras F, M y A, que conforman la fórmula: $f=m*a$
En nuestro trabajo, uno de los objetivos es estructurar la información en pasos (de hecho utilizamos 4 pasos) para que la creación de estructurás mentales, mediante cualquier técnica de estudio (como las de crear metáforas) sea más asequible. En la siguiente metodología se incluyen fórmulas en los pasos que puedes recordar mediante la utilización de metáforas. Te lo dejo a tu imaginación, diviértete creándolas.
Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli
I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente:
$$large frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$$
II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución:
$u=y^{1-n}$ y despejamos $y$ para encontrar mediante la regla de la cadena $frac{d y}{d x}$, es decir, si:
$y ( u ( x ) )$, entonces: $frac{d y}{d x} = frac{d y}{d u} ast frac{du}{d x}$. (OJO: el despeje de $y$ se obtiene mediante elevar a $u$ y $y$ a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: $u=y^{1-n}$ $Rightarrow$ $y=u^{frac{1}{1-n}}$).
III. Sustituímos los valores obtenidos para $frac{d y}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal:
[large frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )]
IV. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.
Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli en 4 pasos
Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15
Resolver la siguiente ecuación diferencial
| begin{equation} Large x frac{d y}{d x} +y= frac{1}{y^{2}} end{equation} |
(1) |
Solución
Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} x frac{d y}{d x} +y & = & frac{1}{y^{2}}\ frac{d y}{d x} + frac{y}{x} & = & frac{1}{x y^{2}}\ frac{d y}{d x} + frac{y}{x} & = & x^{-1} y^{-2} end{eqnarray*} |
Por tanto la ED es de Bernoulli.
Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).
Tenemos, si:
$u=y^{1-n}$ y $n=-2$, entonces: $u=y^{1- ( -2 )} =y^{1+2} =y^{3}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} y & = & sqrt[3]{u}\ y & = & u^{frac{1}{3}} end{eqnarray*} |
Y además, por la regla de la cadena, $frac{d y}{d x} = frac{d y}{d u} ast frac{d u}{d x}$, tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} & = & frac{1}{3} u^{frac{1}{3} -1} frac{d u}{d x}\ frac{d y}{d x} & = & frac{1}{3} u^{frac{-2}{3}} frac{d u}{d x}\ frac{d y}{d x} & = & frac{1}{3u^{frac{2}{3}}} ast^{} frac{d u}{d x} end{eqnarray*} |
Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $frac{dy}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $frac{d y}{d x} +P (x ) y=f ( x )$
Tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} + frac{y}{x} & = & x^{-1^{}} y^{-2}\ Rightarrow frac{1}{3u^{frac{2}{3}}} ast frac{d u}{d x} + frac{u^{frac{1}{3}}}{x} & = & x^{-1} left( u^{frac{1}{3}} right)^{-2}\ Rightarrow frac{1}{3u^{frac{2}{3}}} ast frac{d u}{d x} + frac{u^{frac{1}{3}}}{x} & = & x^{-1} u^{frac{-2}{3}}\ Rightarrow frac{d u}{d x} + frac{3 left( u^{frac{2}{3}} ast u^{frac{1}{3}} right)}{x} & = & frac{3 left( u^{frac{2}{3}} ast u^{frac{-2}{3}} right)}{x}\ Rightarrow frac{d u}{d x} + frac{3 left( u^{frac{2}{3} + frac{1}{3}} right)}{x} & = & frac{3 left( u^{frac{2}{3} - frac{2}{3}} right)}{x}\ Rightarrow frac{d u}{d x} + frac{3u}{x} & = & frac{3}{x} end{eqnarray*} |
Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.
Paso 1. ED lineales:
| begin{eqnarray*} frac{d u}{d x} + frac{3}{x} u & = & 3x^{-1} end{eqnarray*} |
Paso 2. ED lineales:
| begin{eqnarray*} e^{ int P ( x ) d x} & = & e^{int frac{3d x}{x}}\ & = & e^{3 int frac{d x}{x}}\ & = & e^{3 ln | x |}\ & = & e^{ ln | x^{ 3} |^{}} end{eqnarray*} |
Paso 3. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- int P ( x ) {dx}}\ u_{c} & = & C_{1} e^{- int frac{3d x}{x}}\ & = & C_{1} e^{-3 int frac{d x}{x}}\ & = & C_{1} e^{-3 ln | x |}\ & = & C_{1} e^{ ln | x^{-3} |}\ & = & C_{1} e^{ ln left| frac{1}{x^{3}} right|}\ & = & C_{1} left( frac{1}{x^{3}} right)\ & = & frac{C_{1}}{x^{3}} end{eqnarray*} |
Paso 4. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{p} & = & frac{1}{e^{int P ( x ) d x}} int e^{int P ( x ) {dx}} f ( x ) d x\ u_{p} & = & frac{1}{x^{3}} int x^{3} left( frac{3}{x} right) d x\ & = & frac{1}{x^{3}} int 3x^{2} d x\ & = & frac{3}{x^{3}} int x^{2} d x\ & = & frac{3}{x^{3}} left[ frac{x^{2+1}}{2+1} right]\ & = & frac{3}{x^{3}} left[ frac{x^{3}}{3} right]\ & = & 1 end{eqnarray*} |
Por tanto, el resultado buscado es:
| begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p}\ u & = & frac{C_{1}}{x^{3}} +1 end{eqnarray*} |
Y regresando a las variables originales, si: $u=y^{3}$, entonces:
| begin{eqnarray*} u & = & frac{C_{1}}{x^{3}} +1\ y^{3} & = & frac{C_{1}}{x^{3}} +1 end{eqnarray*} |
Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:
$$large y^{3} =C_{1} x^{-3} +1$$
Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 16
Resuelve la siguiente ecuación diferencial
| begin{equation} Large frac{d y}{d x} -y=e^{x} y^{2} end{equation} |
(2) |
Solución
Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$
Por tanto:
$frac{dy}{dx} -y=e^{x} y^{2}$
Por tanto la ED es de Bernoulli.
Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).
Tenemos, si:
$u=y^{1-n}$ y $n=2$, entonces: $u=y^{1- (2 )} =y^{1-2} =y^{-1}=frac{1}{y}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} frac{1}{y} & = & u\ y & = & frac{1}{u}\ & = & u^{ -1} end{eqnarray*} |
Y además, por la regla de la cadena, $frac{d y}{d x} = frac{d y}{d u} ast frac{d u}{d x}$, tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} & = & -u^{ -1-1} ast frac{d u}{d x}\ & = & -u^{ -2} ast frac{d u}{d x}\ & = & frac{-1}{u^{ 2}} ast frac{d u}{d x} end{eqnarray*} |
Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $frac{dy}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $frac{d y}{d x} +P (x ) y=f ( x )$
Tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} -y & = & e^{x} y^{2}\ Rightarrow - frac{1}{u^{2}} ast frac{d u}{d x} - frac{1}{u} & = & e^{x} left( frac{1}{u} right)^{2}\ Rightarrow - frac{1}{u^{2}} ast frac{d u}{d x} - frac{1}{u} & = & e^{x} left( frac{1}{u^{2}} right)\ Rightarrow frac{d u}{d x} + frac{u^{2}}{u} & = & e^{x} left( frac{-u^{2}}{u^{2}} right)\ Rightarrow frac{d u}{d x} +u & = & -e^{x} end{eqnarray*} |
Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.
Paso 1. ED lineales:
$frac{d u}{d x} +u=-e^{x}$
Paso 2. ED lineales:
| begin{eqnarray*} e^{int P ( x ) d x} & = & e^{int d x}\ & = & e^{x} end{eqnarray*} |
Paso 3. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- int P ( x ) d x}\ u_{c} & = & C_{1} e^{- int d x}\ & = & C_{1} e^{-x}\ & = & frac{C_{1}}{e^{x}} end{eqnarray*} |
Paso 4. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{p} & = & frac{1}{e^{int P ( x ) d x}} int e^{int P ( x ) d x} f ( x ) d x\ u_{p} & = & frac{1}{e^{x}} int e^{x} ( -e^{x} ) d x\ & = & - frac{1}{e^{x}} int e^{2x} d x\ & = & - frac{1}{2e^{x}} int e^{2x} ( 2 ) d x\ & = & - frac{1}{2e^{x}} [ e^{2x} ]\ & = & - frac{1}{2} e^{x} end{eqnarray*} |
Por tanto, el resultado buscado es:
| begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p}\ u & = & frac{C_{1}}{e^{x}} - frac{1}{2} e^{x} end{eqnarray*} |
Y regresando a las variables originales, si: $u= frac{1}{y}$, entonces:
| begin{eqnarray*} frac{1}{y} & = & frac{C_{1}}{e^{x}} - frac{1}{2} e^{x}\ frac{1}{y} & = & frac{2C_{1} -e^{2x}}{2e^{x}}\ Rightarrow frac{1}{2C_{1} -e^{2x}} & = & frac{y}{2e^{x}}\ Rightarrow frac{2e^{x}}{2C_{1} -e^{2x}} & = & y end{eqnarray*} |
Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:
$$large y= frac{2e^{x}}{2C_{1} -e^{2x}}$$
Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 17
Resuelve la siguiente ecuación diferencial
| begin{equation} Large frac{d y}{d x} =y ( x y^{3} -1 ) end{equation} |
(3) |
Solución
Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} & = & y ( x y^{3} -1 )\ frac{d y}{d x} & = & x y^{4} -y\ frac{d y}{d x} +y & = & x y^{4} end{eqnarray*} |
Por tanto la ED es de Bernoulli.
Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).
Tenemos, si:
$u=y^{1-n}$ y $n=4$, entonces: $u=y^{1- ( 4 )} =y^{1-4} =y^{-3}=frac{1}{y^{3}}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} frac{1}{y^{3}} & = & u\ Rightarrow frac{1}{u} & = & y^{3}\ Rightarrow y^{3} & = & frac{1}{u}\ Rightarrow y & = & left( frac{1}{u} right)^{ frac{1}{3}}\ Rightarrow y & = & frac{1}{u^{frac{1}{3}}}\ Rightarrow y & = & u^{- frac{1}{3}} end{eqnarray*} |
Y además, por la regla de la cadena, $frac{d y}{d x} = frac{d y}{d u} ast frac{d u}{d x}$, tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} & = & - frac{1}{3} u^{- frac{1}{3} -1} ast frac{d u}{d x}\ & = & - frac{1}{3} u^{- frac{4}{3}} ast frac{d u}{d x}\ & = & - frac{1}{3u^{frac{4}{3}}} ast frac{d u}{d x} end{eqnarray*} |
Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $frac{dy}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $frac{d y}{d x} +P (x ) y=f ( x )$
Tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} +y & = & x y^{4}\ - frac{1}{3u^{ frac{4}{3}}} ast frac{d u}{d x} + frac{1}{u^{frac{1}{3}}} & = & x left( frac{1}{u^{frac{1}{3} }} right)^{4}\ frac{d u}{d x} - frac{3u^{frac{4}{3}}}{u^{frac{1}{3}}} & = & x left( frac{-3u^{frac{4}{3}}}{u^{frac{4}{3}}} right)\ frac{d u}{d x} -3u^{frac{4}{3} - frac{1}{3}} & = & x left( -3u^{frac{4}{3} - frac{4}{3}} right)\ frac{d u}{d x} -3u & = & -3x end{eqnarray*} |
Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.
Paso 1. ED lineales:
$frac{d u}{d x} -3u=-3x$
Paso 2. ED lineales:
| begin{eqnarray*} e^{int P ( x ) d x} & = & e^{int -3d x}\ & = & e^{-3 int d x}\ & = & e^{-3x} end{eqnarray*} |
Paso 3. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{int P ( x ) d x}\ u_{c} & = & C_{1} e^{- int -3d x}\ & = & C_{1} e^{3 int d x}\ & = & C_{1} e^{3x} end{eqnarray*} |
Paso 4. ED lineales:
| begin{eqnarray*} u_{p} & = & frac{1}{e^{-3x}} int e^{-3x} ( -3x ) d x\ & = & frac{1}{e^{-3x}} int -3x e^{-3x} d x\ & = & frac{1}{e^{-3x}} int x e^{-3x} ( -3 ) d x end{eqnarray*} |
Utilizando integración por partes:
$u=x$ $dv=e^{-3x} ( -3 ) d x$
$du=d x$ $v=e^{-3x}$
Por tanto tenemos:
| begin{eqnarray*} u_{p} & = & frac{1}{e^{-3x}} int x e^{-3x} ( -3 ) d x\ & = & frac{1}{e^{-3x}} left[ x e^{-3x} - int e^{-3x} d x right]\ & = & frac{1}{e^{-3x}} left[ x e^{-3x} + frac{1}{3} int e^{-3x} ( -3 ) d x right]\ & = & frac{1}{e^{-3x}} left[ x e^{-3x} + frac{1}{3} e^{-3x} right]\ & = & frac{e^{-3x}}{e^{-3x}} left[ x+ frac{1}{3} right]\ & = & x+ frac{1}{3} end{eqnarray*} |
Por tanto, el resultado buscado es:
| begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p}\ & = & C_{1} e^{3x} +x+ frac{1}{3} end{eqnarray*} |
Y regresando a las variables originales, si: $u= frac{1}{y^{3}}$, entonces:
| begin{eqnarray*} u & = & C_{1} e^{3x} +x+ frac{1}{3}\ frac{1}{y^{3}} & = & C_{1} e^{3x} +x+ frac{1}{3}\ frac{3}{y^{3}} & = & 3C_{1} e^{3x} +3x+1\ frac{3}{3C_{1} e^{3x} +3x+1} & = & y^{3} end{eqnarray*} |
Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:
$$large y^{3} = frac{3}{3C_{1} e^{3x} +3x+1}$$
Un gráfica de la familia de soluciones de la Ecuación Diferencial (3), se muestra a continuación:
Figura 2. Algunas curvas solución de la familia de soluciones para la Ecuación Diferencial de Bernoulli (3)
Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 18
Resuelve la siguiente ecuación diferencial
| begin{equation} Large x frac{d y}{d x} - ( 1+x ) y=x y^{2} end{equation} |
(4) |
Solución
Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} x frac{d y}{d x} - ( 1+x ) y & = & x y^{2}\ frac{d y}{d x} - frac{y}{x} - frac{x y}{x} & = & frac{x}{x} y^{2}\ frac{d y}{d x} - frac{y}{x} -y & = & y^{2}\ frac{d y}{d x} - left( frac{1}{x} +1 right) y & = & y^{2} end{eqnarray*} |
Por tanto la ED es de Bernoulli.
Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).
Tenemos, si:
$u=y^{1-n}$ y $n=2$, entonces: $u=y^{1- (2 )} =y^{1-2} =y^{-1}=frac{1}{y}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} frac{1}{y} & = & u\ frac{1}{u} & = & y\ Rightarrow y & = & frac{1}{u}\ Rightarrow y & = & u^{-1} end{eqnarray*} |
Y además, por la regla de la cadena, $frac{d y}{d x} = frac{d y}{d u} ast frac{d u}{d x}$, tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} & = & -u^{-1-1} frac{d u}{d x}\ & = & -u^{-2} frac{d u}{d x}\ & = & frac{-1}{u^{2}} ast frac{d u}{d x} end{eqnarray*} |
Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $frac{dy}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $frac{d y}{d x} +P (x ) y=f ( x )$
Tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d x} - left( frac{1}{x} +1 right) y & = & y^{2}\ frac{-1}{u^{2}} ast frac{d u}{d x} - left( frac{1}{x} +1 right) left( frac{1}{u} right) & = & left( frac{1}{u} right)^{2}\ frac{d u}{d x} - left( frac{1}{x} +1 right) left( frac{-u^{2}}{u} right) & = & left( frac{-u^{2}}{u^{2}} right)\ frac{d u}{d x} - left( frac{1}{x} +1 right) ( -u ) & = & -1\ frac{d u}{d x} + left( frac{1}{x} +1 right) u & = & -1 end{eqnarray*} |
Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.
Paso 1. ED lineales:
$frac{d u}{d x} + left( frac{1}{x} +1 right) u=-1$
Paso 2. ED lineales:
| begin{eqnarray*} e^{int P ( x ) d x} & = & e^{int left( frac{1}{x} +1 right) d x}\ & = & e^{int frac{d x}{x} + int d x}\ & = & e^{ln | x | +x}\ & = & e^{ln | x |} e^{x}\ & = & x e^{x} end{eqnarray*} |
Paso 3. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- int P ( x ) d x}\ u_{c} & = & C_{1} e^{- int left( frac{1}{x} +1 right) d x}\ & = & C_{1} e^{- int frac{d x}{x} - int d x}\ & = & C_{1} e^{- ln | x | -x}\ & = & C_{1} e^{ln | x^{-1} | -x}\ & = & C_{1} e^{ln | x^{-1} |} e^{-x}\ & = & C_{1} x^{-1} e^{-x} end{eqnarray*} |
Paso 4. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{p} & = & frac{1}{e^{int P ( x ) d x}} int e^{int P ( x ) d x} f ( x ) d x\ u_{p} & = & frac{1}{x e^{x}} int x e^{x} f ( x ) d x\ & = & frac{1}{x e^{x}} int x e^{x} ( -1 ) d x\ & = & frac{-1}{x e^{x}} int x e^{x} d x end{eqnarray*} |
Integrando por partes:
$u=x$ $d v=e^{x} d x$
$d u=d x$ $v=e^{x}$
Por tanto tenemos:
| begin{eqnarray*} u_{p} & = & frac{-1}{x e^{x}} left[ x e^{x} - int e^{x} d x right]\ & = & frac{-1}{x e^{x}} [ x e^{x} -e^{x} ]\ & = & frac{-e^{x}}{x e^{x}} [ x-1 ]\ & = & - frac{1}{x} ( x-1 )\ & = & - frac{x}{x} + frac{1}{x}\ & = & -1+ frac{1}{x} end{eqnarray*} |
Por tanto, el resultado buscado es:
| begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p}\ & = & frac{C_{1}}{x e^{x}} + frac{1}{x} -1 end{eqnarray*} |
Y regresando a las variables originales, si: $u= frac{1}{y}$, entonces:
| begin{eqnarray*} u & = & frac{C_{1}}{x e^{x}} + frac{1}{x} -1\ frac{1}{y} & = & frac{C_{1}}{x e^{x}} + frac{1}{x} -1\ frac{1}{y} & = & frac{C_{1} +e^{x} -x e^{x}}{x e^{x}}\ frac{1}{C_{1} +e^{x} -x e^{x}} & = & frac{y}{x e^{x}}\ frac{x e^{x}}{C_{1} +e^{x} -x e^{x}} & = & y end{eqnarray*} |
Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:
$$ large y=frac{x e^{x}}{C_{1}+e^{x}-x e^{x}}$$
Un gráfica de la familia de soluciones de la Ecuación Diferencial (4), se muestra a continuación:
Figura 3. Algunas curvas solución de la familia de soluciones para la Ecuación Diferencial (4)
Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 19
Resuelva la siguiente ecuiacion diferencial
| begin{equation} Large t^{2 } frac{d y}{d t} +y^{2} =t y end{equation} |
(5) |
Solución
Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} t^{2} frac{d y}{d t} +y^{2} & = & t y\ frac{d y}{d t} + frac{y^{2}}{t^{2}} & = & frac{t y}{t^{2}}\ frac{d y}{d t} + frac{y^{2}}{t^{2}} & = & frac{y}{t}\ frac{d y}{d t} - frac{y}{t} & = & - frac{y^{2}}{t^{2}} end{eqnarray*} |
Por tanto la ED es de Bernoulli.
Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).
Tenemos, si:
$u=y^{1-n}$ y $n=2$, entonces: $u=y^{1- ( 2 )} =y^{1-2} =y^{-1}=frac{1}{y}$
Por tanto:
| begin{eqnarray*} frac{1}{y} & = & u\ frac{1}{u} & = & y ">y ">y ">y\ y & = & frac{1}{u}\ y & = & u^{-1} end{eqnarray*} |
Y además, por la regla de la cadena, $frac{d y}{d x} = frac{d y}{d u} ast frac{d u}{d x}$, tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d t} & = & -u^{-1-1} frac{d u}{d t}\ & = & -u^{ -2} frac{d u}{d t}\ & = & - frac{1}{u^{2}} ast frac{d u}{d t} end{eqnarray*} |
Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $frac{dy}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $frac{d y}{d x} +P (x ) y=f ( x )$
Tenemos:
| begin{eqnarray*} frac{d y}{d t} - frac{y}{t} & = & - frac{y^{2}}{t^{2}}\ - frac{1}{u^{2}} ast frac{d u}{d t} - frac{frac{1}{u}}{t} & = & - frac{left( frac{1}{u} right)^{2}}{t^{2}}\ - frac{1}{u^{2}} ast frac{d u}{d t} - frac{1}{u t} & = & - frac{frac{1}{u^{2}}}{t^{2}}\ frac{d u}{d t} - frac{-u^{2}}{u t} & = & - frac{-u^{2}}{u^{2} t^{2}}\ frac{d u}{d t} + frac{u}{t} & = & frac{1}{t^{2}} end{eqnarray*} |
Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.
Paso 1. ED lineales:
| begin{eqnarray*} frac{d u}{d t} + frac{u}{t} & = & frac{1}{t^{ 2}} end{eqnarray*} |
Paso 2. ED lineales:
| begin{eqnarray*} e^{int P ( x ) d x} & = & e^{int frac{d t}{t}}\ & = & e^{ln | t |}\ & = & t end{eqnarray*} |
Paso 3. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- int P ( x ) d x}\ u_{c} & = & C_{1} e^{- int frac{d t}{t}}\ & = & C_{1} e^{- ln | t |}\ & = & C_{1} e^{ ln | t^{-1} |}\ & = & C_{1} t^{-1}\ & = & C_{1} left( frac{1}{t} right)\ & = & frac{C_{1}}{t} end{eqnarray*} |
Paso 4. ED lineales:
| begin{eqnarray*} y_{p} & = & frac{1}{e^{int P ( x ) d x}} int e^{int P ( x ) d x} f ( x ) d x\ u_{p} & = & frac{1}{t} int t left( frac{1}{t^{2}} right) d t\ & = & frac{1}{t} int frac{{dt}}{t}\ & = & frac{1}{t} ln | t | end{eqnarray*} |
Por tanto, el resultado buscado es:
| begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p}\ & = & frac{C_{1}}{t} + frac{1}{t} ln | t | end{eqnarray*} |
Y regresando a las variables originales, si: $u= frac{1}{y}$, entonces:
| begin{eqnarray*} u & = & frac{C_{1}}{t} + frac{1}{t} ln | t |\ frac{1}{y} & = & frac{C_{1}}{t} + frac{1}{t} ln | t |\ frac{1}{y} & = & frac{C_{1} + ln | t |}{t}\ frac{1}{C_{1} + ln | t |} & = & frac{y}{t}\ frac{t}{C_{1} + ln | t |} & = & y end{eqnarray*} |
Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:
$$large y= frac{t}{C_{1} + ln | t |}$$
Un gráfica de la familia de soluciones de la Ecuación Diferencial (5), se muestra a continuación:
Figura 4. Algunas curvas solución de la familia de soluciones para la Ecuación Diferencial (5)
El código de MATHEMATICA para resolver y graficar el problema 19, es:
Clear["Global`*"]
eq5 = y'[t] - (y[t]/t) == -y[t]^2/t^2;
Sn5 = DSolve[eq5, y[t], t] // Simplify Sn5[[1, 1, 2]];
t5 = Table[Evaluate[Sn5[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
Plot[Tooltip[t5], {t, 0, 15}, PlotRange -> {-7, 7}, PlotStyle -> {Thick}]
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