Ecuaciones diferenciales de variables separables ejemplos resueltos en 3 pasos.

En esta ocasión desarrollo 6 ejemplos de ecuaciones diferenciables de variables separables, partiendo del caso base donde la ecuación se presenta en su forma estándar.

1.- La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

$\frac{dy}{dx}=f\left ( x,y \right )$

Ejemplo:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2\left ( y-1 \right )}$

Donde:

$f(x,y)=\frac{3x^{2}+4x+2}{2\left ( y-1 \right )}$

2.- SEPARAMOS LAS VARIABLES de acuerdo al criterio visto en el artículo: Cómo resolver una Ecuación Diferencial de primer orden separable

$Mdx = Ndy$

Donde:

$M=f(x)$ y $N=f(y)$

La mnemotecnia utilizada para este paso es: Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos

3.- Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y técnicas conocidas de Cálculo integral

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Ejemplo 1:

I. $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2\left ( y-1 \right )}$

Pasos:

1.-  $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x+2}{2\left ( y-1 \right )}$

2.- $2\left ( y-1 \right )dy=\left ( 3x^{2}+4x+2 \right )dx$

$\Rightarrow 2ydy-2dy=3x^{2}dx+4xdx+2dx$

3.-  $\Rightarrow 2\int ydy - 2\int dy=3\int x^{2}dx+4\int xdx+2\int dx+C$

$\Rightarrow \frac{2}{2}y^{2}-2y=\frac{3}{3}x^{3}+\frac{4}{2}x^{2}+2x+C$

Resultado:

$\Rightarrow y^{2}-2y=x^{3}+2x^{2}+2x+C$

IMPORTANTE, en esta ocasión los resultados los representaré implícitamente; es decir, no despejaré la variable dependiente, lo cual en realidad es un problema de álgebra o mejor aún, de métodos numéricos.

Ejemplo 2:

II. $\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^{2}}$

Pasos:

1.-  $\frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^{2}}$

2.-  $\left ( 1+2y^{2} \right )dy=y\cos xdx$

$\Rightarrow \frac{\left ( 1+2y^{2} \right )dy}{y}=\cos xdx$

$\Rightarrow \frac{1}{y}dy+2ydy=\cos xdx$

3.-  $\int \frac{dy}{y}+2\int ydy=\cos xdx+C$

$\Rightarrow \ln y+\frac{2}{2}y^{2}=\sin x+C$

Resultado:

$\Rightarrow \ln y+y^{2}=\sin x+C$

Ejemplo 3:

III. $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}$

Pasos:

1.-  $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}$

2.-  $\left ( 1-y^{2} \right )dy=x^{2}dx$

$\Rightarrow dy-y^{2}dy=x^{2}dx$

3.-  $\int dy-\int y^{2}dy=\int x^{2}dx+C$

Resultado:

$y-\frac{1}{3}y^{3}=\frac{1}{3}x^{3}+C$

Ejemplo 4:

IV. $x\frac{dy}{dx}=4y$

Pasos:

1.-  $x\frac{dy}{dx}=4y$

2.-  $xdy=4ydx$

$\frac{1}{4}\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

3.- $\frac{1}{4}\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}+C$

$\Rightarrow \frac{1}{4}\ln y=\ln x+C$

$\Rightarrow \ln y^{1/4}=\ln x+C$

$\Rightarrow e^{\ln y^{1/4}}=e^{\ln x+C}$

$\Rightarrow y^{1/4}=e^{\ln x}e^{C}$

Resultado:

$y^{1/4}=C_{1}x$

Se puede simplificar con álgebra quedando:

$\Rightarrow \left ( y^{1/4} \right )^{4}=\left ( C_{1}x \right )^{4}$

$\Rightarrow y=C_{2}x^{4}$

La gráfica de la función es:

Ejemplo 5:

V. $\frac{dy}{dx}=y\sin x$

Pasos:

1.- $\frac{dy}{dx}=y\sin x$

2.- $\frac{dy}{y}=\sin xdx$

3.- $\int \frac{dy}{y}=\int \sin xdx+C$

$\Rightarrow \ln y=-\cos x+C$

$\Rightarrow e^{\ln y}=e^{-\cos x+C}$

$y=e^{-\cos x+C}$

$y=e^{-\cos x}e^{C}$

Resultado:

$y=C_{1}e^{-\cos x}$

La gráfica de la función es:

Código de MATHEMATICA para el problema 5

Clear["Global`*"]
(*Solución general del sistema no Homogéneo*)
sol = DSolve[y'[x] == y[x] Sin[x], y[x], x] // Expand
(*Solución Particular 1 del sistema no Homogéneo*)
sol1 = DSolve[{y'[x] == y[x] Sin[x], y[2] == 3}, y[x], x] // Expand
(*Solución Particular 2 del sistema no Homogéneo*)
sol2 = DSolve[{y'[x] == y[x] Sin[x], y[-2] == -7}, y[x], x] // Expand

(*Familia de Soluciones del sistema NO Homogéneo*)
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];

(*GRAFICA DE SOLUCIONES DEL SISTEMA NO HOMOGÉNEO*)
(*Familia de Soluciones*)
pfsnh = Plot[sols, {x, -10, 10}, PlotRange -> {-20, 20}, 
 AspectRatio -> 1];
(*Solución Particular1*)
pspsnh = Plot[sol1[[1, 1, 2]], {x, -10, 10}, PlotRange -> {-20, 20}, 
 AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}];
(*Solución Particular2*)
pspsnh2 = 
 Plot[sol2[[1, 1, 2]], {x, -10, 10}, PlotRange -> {-20, 20}, 
 AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01]}];

Show[pfsnh, pspsnh, pspsnh2]

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