Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a: a)      $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,             $ i(0)={{i}_{o}}$ Y, encontrar el intervalo I de solución. Pasos: I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver: Dividimos, entre el coeficiente de $ \frac{di}{dt}$, que es “$ L$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “t”. $ \frac{di}{dt}+P\left( t \right)i=f(t)$

$ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$ II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ,  

$ {{e}^{\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}={{e}^{\frac{R}{L}t}}$ III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

$ {{\text{i}}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}\mathop{\int }^{}dt}}$ $ =C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ Solución Específica para el Sistema Homogéneo Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ \text{t}=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{i}}_{c}}={{i}_{0}}$ , de modo que: Sustituyendo en: $ {{i}_{c}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$ Tenemos: $ {{i}_{0}}=C\left( 1 \right)~\Rightarrow ~~C={{i}_{0}}$ Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es: $ {{i}_{c}}={{i}_{0}}{{e}^{-\frac{R}{L}t}}$

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

$ {{i}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{E}{L})dt$ $ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\frac{R}{L}t}}(\frac{R}{L})dt$ $ =\frac{E}{R{{e}^{\frac{R}{L}t}}}[{{e}^{\frac{R}{L}t}}]$ $ =\frac{E}{R}$ Por tanto: Si la solución general del Sistema no Homogéneo es: $ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$ Entonces, sustituyendo los valores iniciales $ i\left( 0 \right)={{i}_{0}}$ Tenemos: $ {{i}_{0}}=C{{e}^{-\frac{R}{L}(0)}}+\frac{E}{R}$ $ \Rightarrow {{i}_{0}}=C(1)+\frac{E}{R}$ $ \Rightarrow C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es: $ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$ i\left( t \right)=C{{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

y la solución particular: $ i\left( t \right)=({{i}_{0}}-\frac{E}{R}){{e}^{-\frac{R}{L}t}}+\frac{E}{R}$

El dominio de la solución $ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$ está en el intervalo:

$ D_{i(t)}:- \infty < t < \infty$

O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI:

($ L\frac{di}{dt}+Ri=E$,   $ i(0)={{i}_{o}}$ ), es el intervalo: $ (-\infty ,\infty )$. Notar que el valor de $ C={{i}_{0}}-\frac{E}{R}$ , para el problema del PVI.

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: $ L\frac{di}{dt}+Ri=E$, $ i(0)={{i}_{o}}$, es,

$ i\left( t \right)={{i}_{0}}{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}+\frac{V}{R}-\frac{{{\text{e}}^{-\frac{Rt}{L}}}V}{R}~$

Con intervalo de solución:

$ \Large I:\left \{ t\epsilon R|-\infty< t< \infty \right \}$

Recordar: Logaritmos y exponenciales $ a\ln x=\ln {{x}^{a}}$ Debido a que: $ y={{e}^{x}}$implica  $ x=\ln y$ y además $ \ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $ x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $ y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos: $ \ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y $ {{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

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