Ecuaciones diferenciales algebraicas en p

Ecuación diferencial algebraica en y’

Ejemplo:

\( \displaystyle y \cdot y’ + h(x) \cdot y = (y’)^2 \)

Realizando la sustitución ( \(\displaystyle y’ = p\) ), la ecuación se convierte en una ecuación cuadrática en términos de \(p\):

\( \displaystyle y \cdot p + h(x) \cdot y = p^2 \)

Reorganizamos términos para obtener la forma estándar para aplicar la fórmula cuadrática:

\( \displaystyle p^2 – y \cdot p – h(x) \cdot y = 0 \)

La fórmula general para las raíces de una ecuación cuadrática ( \(\displaystyle ap^2 + bp + c = 0\) ) es:

\( \displaystyle p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)

En este caso, tenemos:

\( \displaystyle a = 1 \)

\( \displaystyle b = -y \)

\( \displaystyle c = -h(x) \cdot y \)

Aplicando la fórmula general para las raíces cuadráticas a nuestra ecuación:

\( \displaystyle p = y’ = \frac{-(-y) \pm \sqrt{(-y)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-h(x)y)}}{2 \cdot 1}\)

Simplificamos términos:

\( \displaystyle p = y’ = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4h(x)y}}{2}\)

Para que esta expresión tenga sentido, ( \(y\) ) no debería ser cero y el discriminante (es decir, ( \(\displaystyle y^2 + 4h(x)y\) )) debería ser no negativo para obtener valores reales de (\(\displaystyle p\) ). Las soluciones ( \(\displaystyle p\) ) (o ( \(\displaystyle y’\) )) representan las pendientes de las tangentes a la solución ( \(\displaystyle y\) ) en el plano \(x-y\).

Una vez que hemos obtenido ( \(\displaystyle p\) ) en términos de ( \(\displaystyle y\) ) y ( \(\displaystyle x\) ) (a través de la función ( \(\displaystyle h(x)\) )), podríamos en principio despejar ( \(\displaystyle y\) ) integrando ( \(\displaystyle p\) ). Pero esto puede no ser complicado, porque la presencia de ( \(\displaystyle y\) ) y ( \(\displaystyle h(x)\) ) podría significar que la ecuación no es separable o de fácil integración. De hecho, existirán dos posibles soluciones para ( \(\displaystyle p\) ), debidas al signo \(( \displaystyle \pm )\) en la solución cuadrática:

\( \displaystyle p_1 = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4h(x)y}}{2} \)

\( \displaystyle p_2 = \frac{y – \sqrt{y^2 + 4h(x)y}}{2} \)

La elección entre ( \( \displaystyle p_1\) ) y ( \(\displaystyle p_2\) ) puede depender de las condiciones iniciales o de límites del problema específico. En algunos casos, solo una de las soluciones tendrá sentido desde el punto de vista del problema físico o matemático.

Para proceder con la solución de la ecuación diferencial, necesitaríamos seleccionar la expresión correcta para ( \(\displaystyle p\) ), y luego posiblemente reformular la ecuación en función de esa expresión. La integración directa puede no ser posible, y podríamos necesitar emplear métodos numéricos o análisis cualitativo para obtener información sobre la solución ( \(\displaystyle y(x)\)).

Específicamente, en muchos problemas físicos o matemáticos, se cuenta con una condición inicial de la forma ( \( \displaystyle y(x_0) = y_0\) ), lo que nos permite evaluar ( \(\displaystyle p_1\) ) y ( \(\displaystyle p_2\) ) en ( \(\displaystyle x = x_0\) ) y ( \(\displaystyle y = y_0\) ). La condición inicial puede dictar cuál de las dos soluciones es válida y aplicable al problema en cuestión.

En resumen, la solución ( \(\displaystyle p(x)\) ) que obtenemos a través de la fórmula cuadrática proporciona un punto de partida para explorar las soluciones de la ecuación diferencial original. Sin embargo, para obtener una solución completa de ( \(\displaystyle y(x)\) ), se debe analizar más a fondo, integrar adecuadamente y considerar las condiciones del problema específico.